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Álgebra A 62

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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA

Unidad 4

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7. Sabiendo que la elipse $E$ tiene por focos a $(8,0)$ y $(-8,0)$ y que existe un punto $P \in E$ tal que $d(P,(8,0))+d(P,(-8,0))=20$, hallen las longitudes de los semiejes mayor y menor de $E$ y grafíquenla.

Respuesta

Yo sé que el enunciado parece confuso, pero ahí en el fondo está la definición de elipse que vimos. Vamos a irlo pensando juntos. 

Sabemos por la definición de la elipse que la suma de las distancias de cualquier punto $P$ de la elipse a sus dos focos ($F_1$ y $F_2$) es una constante, y esa constante es igual a $2a$, donde $a$ es la longitud del semieje mayor. 

Teniendo eso presente, fijate que en el enunciado nos hablan de un punto $P$ que pertenece a la elipse y que verifica que 

$d(P,(8,0))+d(P,(-8,0))=20$.

donde los focos de la elipse son $F_1 = (8,0)$ y $F_2 = (-8,0)$.

Es decir, traducción 👉 La suma de distancias de este punto $P$ a cada uno de los focos es constante y vale $20$. Así que,

$2a = 20$

$a = 10$

Perfecto! Ya sabemos entonces que el semieje mayor $a$ es $10$. 

Ahora, los focos de la elipse están en $(8,0)$ y $(-8,0)$, y sabemos que la distancia entre los focos es igual a $2c$. Como en este caso la distancia entre ambos puntos es $16$, tenemos que...

$2c = 16$

$c = 8$ 

Ahora usamos que $c^2 = a^2 - b^2$ para obtener $b$, el semieje menor. 

$8^2 = 10^2 - b^2$

Despejamos $b$

$b = 6$

Ennnntonces, respuesta a este ejercicio:

-> La longitud del semieje mayor es $a = 10$. -> La longitud del semieje menor es $b = 6$.
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